Il corso ha l’obiettivo di dare una conoscenza di base della teoria delle probabilità, arrivando a trattare argomenti più avanzati, come i processi stocastici, che sono alla base dei modelli più famosi in finanza, come il modello di Black-Scholes per il prezzo di opzioni europee in assenza di arbitraggio. Inoltre le conoscenze ottenute durante il corso saranno versatili per applicazioni in altri settori.

Calcolo, Algebra lineare

La prima parte del corso tratterà di argomenti di base di probabilità, mentre nella seconda parte si tratteranno i processi stocastici con particolare attenzione alle martingale a tempo discreto, strumenti alla base dei famosi modelli in finanza, come il modello di Black-Scholes. Più precisamente per quanto riguarda la prima parte del corso, partiremo dal calcolo combinatorio analizzando poi i concetti di probabilità e di probabilità condizionata con le relative proprietà. Successivamente verranno introdotte le variabili aleatorie, parlando dunque di valore atteso e varianza, ovvero indici di riferimento che riassumono il comportamento delle variabili. Tale sezione del corso verrà poi generalizzata ne contesto di vettori aleatori. La prima parte del corso si conclude con i più importanti teoremi sulle stime delle probabilità, utilizzati, ad esempio, in statistica quando il numero di campioni da analizzare è grande. Nella seconda parte del corso verrà introdotto il concetto di processo stocastico per poi parlare di valore atteso condizionato. Tali concetti verranno utilizzati per introdurre le martingale e le loro proprietà. Infine verrà mostrata l’applicazione di tali processi ai sistemi di scommesse e al modello binomiale per prezzare le opzioni, che risulta essere (in un certo senso) un’approssimazione a tempo discreto del modello di Black-Scholes.

-Ross, S. M. (2013). Calcolo delle probabilità. Italia: Apogeo. -Ethier, S. N. (2010). The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling. Germania: Springer Berlin Heidelberg. -Shreve, S. E. (2004). Stochastic Calculus for Finance I: The Binomial Asset Pricing Model. Germania: Springer.

Due lezioni alla settimana saranno frontali, mentre la terza lezione sarà dedicata agli esercizi.

Il voto verrà stabilito tramite un esame scritto ed un esame orale. Per i frequentanti l’esame scritto può essere anche svolto tramite due midterms distinti: il primo midterm (in data 19/10/2023) riguarda la prima parte di programma (fino ai vettori aleatori esclusi), mentre il secondo midterm (in data 30/11/2023) riguarda la parte restante del programma. Se uno studente non supera o non sostiene uno dei due midterms, può recuperare il midterm mancante durante l’esame scritto. Per i non frequentanti: l'esame è sempre composto da parte scritta e orale; tuttavia nell'esame orale verranno chiesti contenuti aggiuntivi (rispetto a quelli per gli studenti frequentanti) concordati con il docente. Per i frequentanti: ciascuno dei due esoneri ha un peso del 30% sulla valutazione finale. La prova orale ha un peso del 40% sulla valutazione finale. Per in non frequentanti: la prova scritta ha un peso del 60% sul voto finale, mentre la prova orale ha un peso del 40%.

Voto minimo 29/30 e partecipazione durante il corso. Un colloquio con il docente infine servirà a concludere se lo studente è idoneo al lavoro di tesi nella materia in questione.